Đề kiểm 15 phút - Đề số 3 - Bài 7 - Chương 3 - Hình học 9

Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF, CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp.

a) Ta có :  \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) ( BC là đường kính) hay \(CE \bot AB.\)

Tương tự \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow BF \bot AC\) mà BF và CE cắt nhau tại H.

\( \Rightarrow \) H là trực tâm \(∆ABC.\)

b) H’ và H đối xứng qua BC

\(\Rightarrow BH = BK, CH = CK\)

Từ đó hai tam giác BHC và BKC bằng nhau (c.c.c)

\(\left. \begin{gathered} \Rightarrow \widehat {BKC} = \widehat {BHC} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\widehat {BHC'} = \widehat {EHF}\left( \text{đối đỉnh} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {BKC} = \widehat {EHF}\)

Mặt khác tứ giác AEHF nội tiếp \(\left( {\widehat {AEH} + \widehat {AFH} = {{180}^o}} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat A + \widehat {EHF} = {180^o}\)

Do đó \(\widehat A + \widehat {BKC} = {180^o}\). Vậy tứ giác ABKC nội tiếp.