Trong \(∆ ABD\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\(H\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
nên \(EH\) là đường trung bình của \(∆ ABD\)
\(⇒ EH // BD\) và \(EH = \displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Trong \(∆ CBD\) ta có:
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
\(G\) là trung điểm của \(CD\) (gt)
nên \(FG\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ FG // BD\) và \(FG = \displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EH // FG\) và \(EH = FG\)
Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Trong \(∆ ABC\) ta có:
\(EF\) là đường trung bình
\(⇒ EF = \displaystyle {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra: \(EH = EF\)
Vậy : Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
