Giả sử hình thoi \(ABCD.\) Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\)
- Trong \(∆ ABC\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\)
\(F\) là trung điểm của \(BC\)
nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC.\)
\(⇒ EF // AC\) và \(EF =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Trong \(∆ ADC\) ta có:
\(H\) là trung điểm của \(AD\)
\(G\) là trung điểm của \(CD\)
nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ADC\)
\(⇒ HG // AC\) và \(HG =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)
Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: \(AC ⊥ BD\) (tính chất hình thoi)
\(EF // AC\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(EF ⊥ BD\)
Trong \(∆ ABD\) ta có \(EH\) là đường trung bình
\(⇒ EH // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: \(EH ⊥ EF\)
Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật.
