a. Xét \(∆ BEC\) và \(∆ CFD:\)
\(BE = CF\) (gt)
\(\widehat B = \widehat C = {90^0}\)
\(BC = CD\) (gt)
Do đó: \(∆ BEC = ∆ CFD\, (c.g.c)\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1} \cr & {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {90^0} \cr} \)
Suy ra: \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)
Trong \(∆ DCM\) có \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)
Suy ra: \(\widehat {DMC} = {90^0}\). Vậy \(CE ⊥ DF\)
b. Gọi \(K\) là trung điểm của \(DC,\) \(AK\) cắt \(DF\) tại \(N.\)
Xét tứ giác \(AKCE\) ta có:
\(AB // CD\) hay \(AE // CK\)
\(AE =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)
\(CK =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (theo cách vẽ)
Suy ra: \(AE // CK\) nên tứ giác \(AKCE\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(AK // CE\)
\(DF ⊥ CE\) (chứng minh trên) \(⇒ AK ⊥ DF\) hay \(AN ⊥ DM\)
Trong \(∆ DMC\) ta có: \(DK = KC\) \(KN // CM\)
nên \(DN = MN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: \(∆ ADM\) cân tại \(A\) (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)
\(⇒ AD = AM\)
