a) \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \cr
& = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + \left( { - 3ab} \right).a + \left( { - 3ab} \right).b \cr
& = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr
& = {a^3} + \left( {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right) + {b^3} \cr
& = {a^3} + {b^3} \cr} \)
Vậy \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
b) \({a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\)
Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{
& {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right) \cr
& = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3ab.a + 3ab.\left( { - b} \right) \cr
& = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr
& = {a^3} + \left( {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right) - {b^3} \cr
& = {a^3} - {b^3} \cr} \)
Vậy \({a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\)
Áp dụng:
Với \(ab = 6, a + b = -5\), ta được:
\(\eqalign{
& {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { - 5} \right)^3} - 3.6.\left( { - 5} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 125 + 90 = - 35 \cr} \)
