\(a)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(DE\) tại \(I\)
Trong đường tròn \((O)\) ta có:
\(IA = ID\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Trong đường tròn \((O’)\) ta có:
\(IA = IE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(IA = ID = IE = \displaystyle {1 \over 2} DE\)
Tam giác \(ADE\) có đường trung tuyến \(AI\) ứng với cạnh \(DE\) và bằng nửa cạnh \(DE\) nên tam giác \(ADE\) vuông tại \(A.\)
Suy ra: \(\widehat {EAD} = 90^\circ \)
\(b)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AEM} = 90^\circ \)
Mặt khác: \(\widehat {EAD} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
Tứ giác \(ADME\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
\(c)\) Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật và \(ID = IE\) (chứng minh trên) nên đường chéo \(AM\) của hình chữ nhật phải đi qua trung điểm \(I\) của \(DE.\) Suy ra: \(A, I, M\) thẳng hàng.
Ta có: \(IA ⊥ OO'\) ( vì \(IA\) là tiếp tuyến của \((O)\))
Suy ra: \(AM ⊥ OO'\)
Vậy \(MA\) là tiếp tuyến chung của đường tròn \((O)\) và \((O').\)
