\(a)\) Vì \(M\) và \(P\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(MP.\)
Suy ra: \(OP = OM\)
Khi đó \(P\) thuộc \((O)\) và \(MP ⊥ OO’\;\; (1)\)
Vì \(N\) và \(Q\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(NQ\)
Suy ra: \(O’N = O’Q\)
Khi đó \(Q\) thuộc \((O’)\) và \(NQ ⊥ OO’\;\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \( MP // NQ\)
Tứ giác \(MNQP\) là hình thang.
Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(MP\) và \(NQ\) nên \(OO’\) đi qua trung điểm hai đáy hình thang \(MNQP,\) \(OO’\) đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang \(MNQP\) nên \(MNQP\) là hình thang cân.
\(b)\) Ta có: \(MN ⊥ OM\) ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: \(\widehat {OMN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \) (3)
\(OM = OP( = R)\) nên tam giác \(OMP\) cân tại \(O\)
Suy ra: \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\) \( (4)\)
Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\) \( (5)\)
Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \)
Suy ra: \(QP ⊥ OP\) tại \(P\)
Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
Ta có: \(MN ⊥ O’N\) ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: \(\widehat {O'NM} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {O'MN} = \widehat {MNQ} - \widehat {O'NQ} = 90^\circ \) \((6)\)
\(O’N = O’Q ( = R’)\) nên tam giác \(O’NQ\) cân tại \(O’\)
Suy ra: \(\widehat {O'NQ} = \widehat {O'QN}\) \((7)\)
Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {PQN}\) \((8)\)
Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PQN} - \widehat {O'QN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'QP} = 90^\circ \)
Suy ra: \(QP ⊥ O’Q\) tại \(Q\)
Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’).\)
\(c)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(MN\) tại \(E\) và \(PQ\) tại \(F\)
Trong đường tròn \((O),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\( EM = EA\) và \(FP = FA\)
Trong đường tròn \((O’),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(EN = EA\) và \(FQ = FA\)
Suy ra: \(EM = EA = EN = \displaystyle {1 \over 2}MN\)
\(FP = FA = FQ = \displaystyle {1 \over 2}PQ\)
Suy ra: \(MN +PQ = 2EA + 2FA \)\(= 2(EA + FA) = 2EF \;\; (9)\)
Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(MNQP\) nên:
\(EF = \displaystyle {{MP + NQ} \over 2}\) hay \(MP + NQ = 2EF \;\; (10)\)
Từ \((9)\) và \((10)\) suy ra:\( MN + PQ = MP + NQ.\)
