\(a)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MDN} = 90^\circ \)
Tam giác \(ACM\) nội tiếp đường tròn có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)
Suy ra: \(CM ⊥ AD ⇒\widehat {CMD} = 90^\circ \)
Tam giác \(BCN\) nội tiếp trong đường tròn có \(BC\) là đường kính nên \(\widehat {BNC} = 90^\circ \)
Suy ra: \(CN ⊥ BD ⇒ \widehat {CND} = 90^\circ \)
Tứ giác \(CMDN\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
\(b)\) Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) có \(CM ⊥ AD.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(C{D^2} = DM.DA\) \((1)\)
Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) có \(CN ⊥ BD.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(C{D^2} = DN.DB\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(DM.DA = DN.DB\)
\(c)\) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC, Q\) là trung điểm của \(BC, I\) là giao điểm của \(MN\) với \(DC.\)
Vì \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(IC = IM = ID = IN\)
Tam giác \(CNI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICN} = \widehat {INC}\) \((3)\)
Tam giác \(CNQ\) cân tại \(Q\) nên \(\widehat {QCN} = \widehat {QNC}\) \((4)\)
Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {ICN} + \widehat {QCN} = 90^\circ \) \((5)\)
Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {INC} + \widehat {QNC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ QN\)
Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(BC.\)
Tam giác \(CMI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICM} = \widehat {IMC}\) \((6)\)
Tam giác \(CMP\) cân tại \(P\) nên \(\widehat {PCM} = \widehat {PMC}\) \((7)\)
Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {PCM} + \widehat {ICM} = 90^\circ \) \( (8)\)
Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PMC} + \widehat {IMC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ PM\)
Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AC.\)
\(d)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\)
Tứ giác \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(CD = MN\)
Trong tam giác \(OCD\) ta có: \(CD \le OD\) nên \(MN \le OD\)
Vì \(OD\) không đổi nên \(MN = OD\) là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(C\) trùng với \(O.\)
Vậy \(C\) là trung điểm của \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất.