Kẻ \(OI ⊥ AE, O'K ⊥ AF\)
Trong đường tròn \((O),\) ta có:
\( IA = IE = \displaystyle {1 \over 2}AE\) ( đường kính vuông góc với dây cung)
Trong đường tròn \((O'),\) ta có:
\(KA = KF = \displaystyle {1 \over 2}AF\) (đường kính vuông góc với dây cung)
Ta có: \( EF = AE + AF\)
Suy ra: \(EF = 2IA + 2AK \)\(= 2(IA + AK) = 2IK \; \;(1)\)
Kẻ \(O'H ⊥ OI\)
Khi đó tứ giác \(IHO'K\) là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)
Suy ra: \(O'H = IK\)
Trong tam giác \(OHO'\) ta có: \(O’H \le {\rm{OO'}}=3\; (cm)\)
Suy ra: \(IK \le {\rm{OO}}'\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(EF \le {\rm{2OO'}}= 6 (cm)\)
Ta có: \(EF = 6cm\) khi \(H\) và \(O\) trùng nhau hay \(EF // OO'\)
Vậy \(EF\) có độ dài lớn nhất bằng \(6cm\) khi và chỉ khi \(EF // OO'.\)
