\(a)\) Tam giác \(ABM\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(M\)
Suy ra: \(AN ⊥ BM\)
Tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(C\)
Suy ra: \(AC ⊥ BN\)
Tam giác \(ABN\) có hai đường cao \(AC\) và \(BM\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác \(ABN\)
Suy ra: \(NE ⊥ AB\)
\(b)\) Ta có: \(MA = MN\) ( tính chất đối xứng tâm)
\(ME = MF\) ( tính chất đối xứng tâm)
Tứ giác \(AENF\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.
Suy ra: \(AF // NE\)
Mà \(NE ⊥ AB\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(AF ⊥ AB\) tại \(A.\)
Vậy \(FA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
\(c)\) Trong tam giác \(ABN\) ta có: \(AN ⊥ BM\) và \(AM = AN\)
Suy ra tam giác \(ABN\) cân tại \(B.\)
Suy ra \(BA = BN\) hay \(N\) thuộc đường tròn \((B; BA)\)
Tứ giác \(AFNE\) là hình bình hành nên \(AE // FN\) hay \(FN // AC\)
Mặt khác: \(AC ⊥ BN\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(FN ⊥ BN \) tại \(N\)
Vậy \(FN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(( B; BA).\)
