\(a)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)
Vì \(BC\) là đường trung trực của \(AD\) nên theo tính chất đường trung trực ta có: \( BA = BD\)
Tam giác \(BAD\) cân tại \(B\) có \(BI ⊥ AD\) nên \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABD.\)
Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)
và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)
Tam giác \(EBF\) có \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\) và \(BH ⊥ EF\) nên tam giác \(EBF\) cân tại \(B.\)
\(b)\) Tam giác \(EBF\) cân tại \(B\) nên \(HE = HF\)
Tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
\(HA = HE = HF = \displaystyle {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)
Vậy tam giác \(AHF\) cân tại \(H.\)
\(c)\) Tam giác \(AHF\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) \((1)\)
Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\) \((3)\)
Tam giác \(BHF\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay \(HA ⊥ AO\)
Vậy \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
