\(a)\) Vì \(O, O'\) và \(B\) thẳng hàng nên: \(O'B < OB\)\( ⇒ O'\) nằm giữa \(O\) và \(B\)
Ta có: \(OO' = OB - O'B\)
Vậy đường tròn \((O')\) tiếp xúc trong với đường tròn \((O)\) tại \(B.\)
\(b)\) Ta có: \(HA = HC \;\;(gt)\)
\(AB ⊥ DE\;\; (gt)\)
Suy ra: \(HD = HE\) (đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác \(ADCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: \(AC ⊥ DE\)
Suy ra tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.
\(c)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(D.\)
Suy ra: \(AD ⊥ BD\)
Tứ giác \(ADCE\) là hình thoi nên \(EC // AD\)
Suy ra: \( EC ⊥ BD \;\;\; (1)\)
Tam giác \(BCK\) nội tiếp trong đường tròn \((O')\) có \(BC\) là đường kính nên vuông tại \(K.\)
Suy ra: \(CK ⊥ BD\;\;\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(EC\) trùng với \(CK\)
Vậy \(E, C, K\) thẳng hàng.
\(d)\) Tam giác \(DEK\) vuông tại \(K\) có \(KH\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền \(DE\) nên:
\(HK = HE = \displaystyle{1 \over 2}DE\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác \(EHK\) cân tại \(H\)
Suy ra: \(\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\) (tính chất tam giác cân) \((3)\)
Ta có: \(O'K = O'C (= R)\) nên tam giác \(O'CK\) cân tại \(O'\)
Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}\) (tính chất tam giác cân)
Mà: \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HKO'} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}\)\( = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\) \((5)\)
Tam giác \(CEH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) \((6)\)
Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(\widehat {HKO'} = 90^\circ \) hay \(HK ⊥ KO'\) tại \(K\)
Vậy \(HK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)
