\(a)\) Trong đường tròn \((O)\) ta có \(OI\) là tia phân giác của góc \(AID\) ( tính chất hai tiếp tuyếnc cắt nhau)
Trong đường tròn \((O’)\) ta có \(O’I\) là tia phân giác của góc \(AIE\) ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
nên \(IO ⊥ IO'\) ( tính chất kề bù)
Suy ra: \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MIN} = 90^\circ \)
Lại có: \(IA = ID \) ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác \(ADI\) có \(IO\) là phân giác của góc \(AID\) nên \(IO\) cũng là đường cao của tam giác \(AID.\)
Suy ra: \(IO ⊥ AD\) hay \(\widehat {AMI} = 90^\circ \)
Mặt khác: \(IA = IE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác \(AEI\) cân tại \( I.\)
Tam giác cân \(AIE\) có \(IO'\) là phân giác của góc \(AIE\) nên \(IO'\) cũng là đường cao của tam giác \(AIE.\)
Suy ra: \(IO' ⊥ AE\) hay \(\widehat {ANI} = 90^\circ \)
Tứ giác \(AMIN\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
\(b)\) Tam giác \(AIO\) vuông tại \(A\) có \(AM ⊥ IO.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO\), ta có:
\(IA^2= IM.IO \;\;\; (1)\)
Tam giác \(AIO'\) vuông tại \(A\) có \(AN ⊥ IO'.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO'\) , ta có:
\(IA^2= IN.IO' \;\;\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(IM.IO = IN.IO'\)
\(c)\) Ta có: \(IA = ID = IE \) ( chứng minh trên)
Suy ra \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(I\) đường kính \(DE.\)
Vì \(OO' ⊥ IA\) tại \(A\) nên \(OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\displaystyle \left( {I;{{DE} \over 2}} \right).\)
\(d)\) Tam giác \(O'IO\) vuông tại \(I\) có \(IA ⊥ OO'.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(O'IO\), ta có:
\( IA^2= OA.O'A = 5.3,2 = 16\)
Suy ra: \(IA = 4 (cm).\) Mà \(DE = 2IA\) nên \(DE = 2.4 = 8 (cm).\)
