\(a)\) Trong đường tròn \((M; MH),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\( MA\) là tia phân cách của góc \(HMC\)
Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)
\(MB\) là tia phân giác của góc \(HMD\)
Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)
Tam giác \(ABM\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(M\)
Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)
\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ = 180^\circ \)
Vậy \(C, M, D\) thẳng hàng.
\(b)\) Trong đường tròn \((M ; MH),\) theo (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(AC = AH\) và \(BD = BH\)
Khi \(M\) thay đổi trên nửa đường tròn tâm \(O\) thì \(AC\) luôn bằng \(AH\) và \(BD\) luôn bằng\(BH.\)
Suy ra: \(AC + BD = AH + BH = AB\) không đổi
\(c)\) Ta có: \(AC ⊥ CD \) và \( BD ⊥ CD\) ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: \(AC // BD\) hay tứ giác \(ABDC\) là hình thang
Mà \(OA = OB \) ( bán kính \((O)\))
Và \(AC = MD\) ( bán kính \((M)\))
Suy ra \(OM\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)
Khi đó \(OM // AC.\) Suy ra: \(OM ⊥ CD\) hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)
Tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\) có \(MH ⊥ OI.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(OM^2= OH.OI\)
Suy ra: \(OH.OI = R^2\) không đổi.
