Theo giả thiết ta có: \(EB = 2x (cm)\)
Điều kiện: \(y > 2x > 0\)
\(AE = AB – EB = y – 2x (cm)\)
\(AG = AD + DG\)\( = y +\displaystyle {3 \over 2}EB \\ = y + \displaystyle{3 \over 2}.2x = y + 3x(cm)\)
Diện tích hình chữ nhật \(GAEF\) bằng diện tích hình vuông \(ABCD\) nên ta có phương trình:
\(\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}\)
Mặt khác theo định lí Pitago ta có:
\(FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}} \\ = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}} = x\sqrt {13} (cm)\)
Chu vi của ngũ giác \(ABCFG\) bằng:
\(\eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA \cr
& = y + y + x\sqrt {13} + y - 2x + 3x + y \cr
& = x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y \cr} \)
Chu vi ngũ giác \(ABCFG\) bằng \(100 + 4\sqrt {13} (cm)\) nên ta có phương trình:
\(x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13} \)
Ta có hệ phương trình:
Giá trị \(x = 4\) và \(y = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x = 4 (cm); y = 24 (cm).\)
