Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ABC\), ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\)
\( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\(\displaystyle \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))
\(\displaystyle \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì \(CE\) là phân giác góc \(C\))
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆BIC\), ta có:
\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {BIC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\)
\(\displaystyle = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) \)
\(\displaystyle = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Kẻ tia phân giác \(IK\) của \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\).
Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = {1 \over 2}.120^o= 60^\circ \)
Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ \)\(\,= 60^\circ \)
\(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối đỉnh)
Xét \(∆BIE\) và \(∆BIK\) có:
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))
\(BI\) cạnh chung
\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow ∆BIE = ∆BIK\) (g.c.g)
\( \Rightarrow IE = IK \) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \( ∆CIK\) và \(∆CID\) có:
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (\(CE\) là phân giác góc \(C\))
\(CI\) cạnh chung
\(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow ∆CIK = ∆CID\) (g.c.g)
\( \Rightarrow IK = ID\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(IE = ID.\)
