a) Vì \(OM ⊥ AB\) và \(ON ⊥ CD\), mà \(AB // CD\) nên suy ra \(M, O, N\) thẳng hàng.
Xét \(\Delta OCN\) có \(AB // CD\), theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}\) (1)
Xét \(\Delta ODN\) có \(AB // CD\), theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}\) (2)
Từ (1) và (2) và theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} \)\(\,\displaystyle = {{AB} \over {CD}}\)
b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) và \(CD \) cắt \(AD\) tại \(E\), cắt \(BC\) tại \(F.\)
Xét \(\Delta DAB\) có \(OE // AB\) (cách dựng)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{OE} \over {AB}} = {{DO} \over {DB}}\) (*)
Xét \(\Delta CAB\) có \(OF // AB\) (cách dựng)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
\( \displaystyle {{OF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\) (2*)
Xét \(\Delta BCD\) có \(OF // CD\) (gt)
Theo định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle{{DO} \over {DB}} = {{CF} \over {CB}}\) (3*)
Từ (*), (2*) và (3*) suy ra: \(\displaystyle{{OE} \over {AB}} = {{OF} \over {AB}}\)
Vậy \( OE = OF.\)
Từ đó, ta có:
\({S_{AEO}} = {S_{BFO}}\) (3) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);
\({S_{DEO}} = {S_{CFO}}\) (4) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau)
Từ (3) và (4) suy ra: \({S_{AEO}}+{S_{DEO}} = {S_{BFO}}+{S_{CFO}}\)
\( \Rightarrow {S_{OAD}} = {S_{OBC}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{2}OH.AD = \dfrac{1}{2}OK.BC \)
\(\Rightarrow OH.AD = OK.BC \)
\(\Rightarrow \displaystyle {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
