Bài 2.96 trang 136 SBT giải tích 12

Phương trình \(\displaystyle  1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(\displaystyle  0\)                        B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle  2\)                        D. Vô số

Lời giải

Ta có: \(\displaystyle  1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^x}}} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} = 1\)

Xét hàm \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{1}{{{2^x}}} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\) có \(\displaystyle  f'\left( x \right) =  - {2^{ - x}}\ln 2 + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) < 0\) với mọi \(\displaystyle  x \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\displaystyle  \mathbb{R}\).

Mà \(\displaystyle  f\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(\displaystyle  x = 2\).

Chọn B.


Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”