\(a)\) Ta có: \(AM = AN\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác \(AMN\) cân tại \(A\)
Mặt khác \(AO\) là đường phân giác của góc \(MAN\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra \(AO\) là đường cao của tam giác \(AMN\) (tính chất tam giác cân)
Vậy \(OA ⊥ MN.\)
\(b)\) Tam giác \(MNC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(NC\) là đường kính nên \(\widehat {CMN} = 90^\circ \)
suy ra: \(MN ⊥ MC\)
Mà \(OA ⊥ MN\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(OA // MC\)
\(c)\) Ta có: \(AN ⊥ NC\) (tính chất tiếp tuyến)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(AON\) ta có:
\(A{O^2} = A{N^2} + O{N^2}\)
Suy ra: \(A{N^2} = A{O^2} - O{N^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)
\( AN = 4 (cm)\)
Suy ra: \(AM = AN = 4 (cm)\)
Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(MN\)
Ta có: \(MH = NH = \displaystyle {{MN} \over 2}\) (tính chất tam giác cân)
Tam giác \(AON\) vuông tại \(N\) có \(NH ⊥ AO.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(OA.NH = AN.ON\)\( \Rightarrow NH = \displaystyle {{AN.ON} \over {AO}}\)\( = \displaystyle {{4.3} \over 5} = 2,4 (cm) \)
\(MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm).\)
