\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
\(Ax ⊥ AB\)
\(By ⊥ AB\)
Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)
Trong tam giác \(BND,\) ta có: \(AC // BD\)
Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((1)\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(AC = CM\) và \(BD = DM \;\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)
Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)
Suy ra: \(MN // AC\) ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)
Mà: \(AC ⊥ AB\) \((\)vì \(Ax ⊥ AB)\)
Suy ra: \(MN ⊥ AB\)
\(b)\) Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(MN // AC\)
Suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((3)\)
Trong tam giác \(ABC,\) ta có: \(MH // AC\) ( vì \(M, N, H\) thẳng hàng)
Suy ra: \(\displaystyle{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((4)\)
Trong tam giác \(BDN,\) ta có: \(AC // BD\)
Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\) \((5)\)
Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\).
