Gọi \(H\) là tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với \(BC.\)
Ta có: \(IH ⊥ BC\) (tính chất tiếp tuyến)
Vì \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)
Tam giác \(ABC\) đều nên \(AI\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC.\) Khi đó \(A, I, H\) thẳng hàng.
Ta có: \(HB = HC\) ( tính chất tam giác đều)
Tam giác \(ABC\) đều nên \(I\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)
Suy ra: \(AH = 3.HI = 3.r\)
\(\widehat {HAB} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BAC}\)\( = \displaystyle{1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \)
Tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên ta có:
\(BH = AH.tan\widehat {HAB} = 3{\rm{r}}.tan{30^0} \)\(=\displaystyle 3{\rm{r}}.{{\sqrt 3 } \over 3} = r\sqrt 3 \)
Mà: \(BC = 2.BH = 2r\sqrt 3 \)
Vậy \({S_{ABC}} =\displaystyle {1 \over 2}AH.BC \)\(= \displaystyle{1 \over 2}.3r.2r\sqrt 3 = 3{r^2}\sqrt 3 \) \((đvdt)\)
