\(a)\) Gọi \(H\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(MN\) với đường tròn \((O).\) Nối \(OH.\)
Ta có: \(\widehat {AOH} + \widehat {BOH} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\(OM\) là tia phân giác của góc \(AOH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(ON\) là tia phân giác của góc \(BOH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(OM ⊥ ON\) (tính chất hai góc kề bù)
Vậy \(\widehat {MON} = 90^\circ \)
\(b)\) Ta có: \(MA = MH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(NB = NH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà: \(MN = MH + HN\)
Suy ra: \( MN = AM + BN\)
\(c)\) Tam giác \(OMN\) vuông tại \(O\) có \(OH ⊥ MN\) (tính chất tiếp tuyến) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(O{H^2} = MH.NH\)
Mà: \( MH = MA, NH = NB\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(AM.BN = O{H^2} = {R^2}\).
