Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với \(AB\) và \(AC.\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(AE = AF\)
\( BE = BD\)
\( CD = CF\)
Ta lại có: \(BD = BC - CD\)
\( BE = AB – AE\)
Suy ra: \(BD + BE = AB + BC – (AE + CD )\)
\( = AB + BC – (AE + CE)\)
\(= AB + BC – AC\)
Suy ra: \(BD =\displaystyle {{AB + BC - AC} \over 2}\)
Lại có: \(CD = BC – BD\)
\( CF = AC = AF\)
Suy ra: \(CD + CF \)\(= BC + AC – ( BD + AF)\)
\(= BC + AC – (BE + AE)\)
\(= BC + AC – BA\)
Suy ra: \(CD = \displaystyle {{BC + AC - AB} \over 2}\)
Ta có: \(BD.CD\)\( =\displaystyle {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\)
\(\displaystyle = {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}\)
\(\displaystyle ={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4}\)
\( = \displaystyle {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\) \((1)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC,\) ta có:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \;\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BD.CD = \displaystyle {{2AB.AC} \over 4} \)\(= {{AB.AC} \over 2}\)
Mà \({S_{ABC}} = \displaystyle {1 \over 2}AB.AC\)
Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC.\)
