Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC.\)
Ta có: \( BC = 2R\)
Giả sử đường tròn tâm \((O)\) tiếp với AB tại \(D, AC\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F.\)
Ta có: \(OD \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \)
\(OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt)
Tứ giác \(ADOE\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có: \(AD = AE\) (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)
Vậy tứ giác \(ADOE\) là hình vuông.
Suy ra: \(AD = AE = EO = OD = r\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+) \( AD = AE\)
+) \( BD = BF\)
+) \( CE = CF\)
Ta có: \( 2R + 2r = BF + FC + AD + AE\)
\( = (BD + AD) + (AE +CE)\)
\( = AB + AC\)
Vậy \(AB = AC = 2 (R + r).\)
