Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) \(\displaystyle \sqrt {{4 \over 5}} \)                   

b) \(\displaystyle \sqrt {{3 \over {125}}} \)                       

c) \(\displaystyle \sqrt {{3 \over {2{a^3}}}} \) với a > 0

Trục căn thức ở mẫu:

a) \(\displaystyle {5 \over {3\sqrt 8 }};\,\,{2 \over {\sqrt b }}\) với b > 0

b) \(\displaystyle {5 \over {5 - 2\sqrt 3 }};\,\,\,{{2a} \over {1 - \sqrt a }}\) với \(a \ge 0\) và \(a \ne 1\)

c) \(\displaystyle {4 \over {\sqrt 7  + \sqrt 5 }};\,\,\,{{6a} \over {2\sqrt a  - \sqrt b }}\) với a > b > 0

Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

\(\sqrt{\dfrac{1}{600}};\,\,\sqrt{\dfrac{11}{540}};\,\,\sqrt{\dfrac{3}{50}};\,\,\sqrt{\dfrac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.\) 

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\(ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.\)

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

+ Ta có

\(ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.\)

        Nếu \( b \ge 0\)  thì \(|b|=b \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}\). 

        Nếu \( b < 0\)  thì \(|b|=-b \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}\).

+ Ta có:

\( \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}\)

\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}\)\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}\)\(=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}\)

   Nếu \(a\geq 0\) thì \( |a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .\)

   Nếu \(a<0\) thì  \(|a|=-a  \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .\)

+ Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}\)

                    \(=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}\).

   Nếu \(b \ge 0\)  thì \(|b|=b \Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\).

   Nếu \(-1 \le b < 0\)  thì \(|b|=-b \Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\).

+ Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}\)\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}\).

Nếu \(a \ge 0,\ b \ge 0\) thì \(|a|=a,\ |b| =b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}\).

Nếu \(a < 0,\ b < 0\) thì \(|a|=-a,\ |b| =-b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}\).

+ Ta có:

\(3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}\)

\(=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|}\) \(=\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}\).

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}.\) 

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.\)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\).

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\) 

b) \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}};\)

c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}};\)

d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}; \)

\(\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\,\,\, \dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}.\)

Phân tích thành nhân tử (với \(a,\ b,\ x,\ y\) là các số không âm)

a) \(ab + b\sqrt a  + \sqrt a  + 1\)

b) \(\sqrt {{x^3}}  - \sqrt {{y^3}}  + \sqrt {{x^2}y}  - \sqrt {x{y^2}} \)

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

a) \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\)

b) \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.\)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

\(\sqrt {25x}  - \sqrt {16x}  = 9\) khi \(x\) bằng

(A) \(1\);

(B) \(3\);

(C) \(9\);

(D) \(81\).

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Bài 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn :

a. \(A = ab\sqrt {{3 \over {ab}}} \)

b. \(B = \sqrt {{{3a} \over {5b}}} \)

c. \(C = \sqrt {{{2x} \over {{y^4}}} + {1 \over {{y^3}}}} \)

Bài 2. Trục căn thức ở mẫu :

a. \({{1 + \sqrt 2 } \over {1 - \sqrt 2 }}\)

b. \({{\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \over {\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

c. \({{1 - {a^2}} \over {1 - \sqrt a }}\)

Bài 3. Rút gọn :  \(M = {{\sqrt x } \over {\sqrt x  - 6}} - {3 \over {\sqrt x  + 6}} + {x \over {36 - x}}\)

Bài 1. Khử mẫu số của biểu thức lấy căn :

a. \(A = \sqrt {{2 \over {3 - \sqrt 5 }}} \)

b. \(B = \sqrt {{{a - 4} \over {2\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}} \)

Bài 2. Chứng minh : \({1 \over {\sqrt 3  + \sqrt 2 }} = \sqrt 3  - \sqrt 2 \)

Bài 3. So sánh : \({{3\sqrt 7  + 5\sqrt 2 } \over {\sqrt 5 }}\) và \(\sqrt {35}  + \sqrt {10} \)

Bài 1. Khử mẫu số của biểu thức lấy căn :

a. \(A = \sqrt {{{3{x^3}} \over {4y}}} \)

b. \(B = \sqrt {{1 \over {a\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}} \)

Bài 2. Trục căn thức ở mẫu số :

a. \({1 \over {3\sqrt 2  - 2\sqrt 3 }}\)

b. \({a \over {a\sqrt a  - 1}}\)

Bài 3. Rút gọn :  \(P = {{{x^2}\sqrt {xy} } \over y}.\sqrt {{y \over x}}  - {x^2}\)

Bài 4. Chứng minh : \({{x - 2} \over {\sqrt {x - 1}  + 1}} \ge  - 1\), với x ≥ 1.

Bài 1. Trục căn thức ở mẫu số :

a. \(A = {{1 - {a^2}} \over {1 - \sqrt a }}\)

b. \(B = {{x - 3} \over {\sqrt {x - 1}  - \sqrt 2 }}\)

Bài 2. So sánh :

a. \({{\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \over {\sqrt 2 }}\,\text{ và }\,{{1 + \sqrt 5 } \over 2}\)

b. \(\sqrt {{{2\sqrt 3  + 3} \over {2\sqrt 3  - 3}}} \,\text{ và }\,2 + \sqrt 3 \)

Bài 3. Rút gọn :  \(A = {{9 - x} \over {\sqrt x  + 3}} - {{x - 6\sqrt x  + 9} \over {\sqrt x  - 3}} - 6\)

Bài 1. Rút gọn :  \(A = \sqrt {{a \over b}}  + \sqrt {ab}  + {a \over b}\sqrt {{b \over a}} \)

Bài 2. Tìm x, biết : \({{4 - x} \over {\sqrt x  + 2}} - {{x - 4\sqrt x  + 4} \over {\sqrt x  - 2}} < 4\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Bài 3. So sánh : \({{2 + \sqrt 2 } \over {2 - \sqrt 2 }} + {{2 - \sqrt 2 } \over {2 + \sqrt 2 }}\,\text{ và }\,4\sqrt 2 \)

Bài 4. Chứng minh rằng : \({{a - b} \over {{b^2}}}.\sqrt {{{{a^2}{b^4}} \over {{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = \left| a \right|\)     (với \(a > b\) )