Bài 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 4 > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - {3 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0,\) với mọi m ( vì \({\left( {m - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0,\) với mọi m)
Vậy Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb R\) .
Bài 2:
+) \(m = 0\), ta có phương trình \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}\). Vậy \(m = 0\), phương trình có nghiệm.
+) \(m \ne 0\), phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 0 \hfill \cr \Delta ' \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 0 \hfill \cr - m + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 0 \hfill \cr m \le 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm khi \( m ≤ 1.\)
Bài 3: Ta có: \(m = x + y \Leftrightarrow y = m – x\)
Vậy \({x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {m - x} \right)^2} = 1 \)\(\;\Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\)
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 2 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left| m \right| \le \sqrt 2 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 \)
Vậy giá trị lớn nhất của m là \(\sqrt 2 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = {1 \over {\sqrt 2 }}.\)
