Gọi tam giác cần tìm là \(ABC\) vuông tại \(A\) chiều cao \(AH\) sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\)
Từ \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3 }{4}\) suy ra: \(\dfrac{{AB}}{{3}} = \dfrac{{AC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{{ 9}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\(\dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}}\)\( = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}}\, (1)\)
Theo định lí Pytago, ta có:\(\eqalign{& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625\,(2) \cr} \)Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}}\)\( = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}} = \dfrac{{15625}}{{25}} = 625\)
Suy ra :\(A{B^2} = 9.625 = 5625\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {5625} = 75(cm)\)\(A{C^2} = 16.625 = 10000\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {10000} = 100(cm)\)
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} \)\(= \dfrac{{{{75}^2}}}{{125}} = 45(cm)\)
\(CH = BC - BH\)\( = 125 - 45 = 80(cm).\)
