Vì \(BM\) là đường phân giác của góc \(B\) nên ta có:
\(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MA + MC}} = \dfrac{{AB}}{{AB + BC}}\) (tính chất tỉ lệ thức)
Suy ra: \(MA = \dfrac{{AB.(MA + MC)}}{{AB + BC}}\)\(= \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}\)\( = \dfrac{{6.8}}{{6 + 10}} = \dfrac{{48}}{{16}} = 3\left( {cm} \right)\)
Vì \(BM, BN\) lần lượt là đường phân giác của góc trong và góc ngoài đỉnh \(B\) nên ta có: \(BM \bot BN\)
Suy ra tam giác \(BMN\) vuông tại \(B\).
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: \(A{B^2} = AM.AN\)
Suy ra: \(AN = \dfrac{{A{B^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{6^2}}}{ 3} = \dfrac{{36}}{ 3} = 12\left( {cm} \right)\)
