Hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại \(H\). Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có:
\(\dfrac{{HD}}{{HB}} =\dfrac{{HD.BD}}{{HB.BD}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} \)\(= \dfrac{{{4^2}}}{{{6^2}}} = \dfrac{4}{9}.\)
Ta có \(∆HDC \backsim ∆HBA\) (do \(\widehat D = \widehat {AHB} = {90^0};\,\widehat {ACD} = \widehat {CAB}\) (so le trong)) nên
\(\dfrac{{DC}}{{AB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{4}{9}\) suy ra \(DC = \dfrac{4}{9}.6 = \dfrac{8 }{3}\left( {cm} \right)\)
Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(ADCK\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) nên \(DC=KA;AD=KC\)
Suy ra \(KB = AB-KA=AB-DC\)\( = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{{10}}{3}.\)
Từ đó theo định ý Pytago cho tam giác vuông \(KBC\) ta có:
\(B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2}\)\( = \dfrac{{100}}{ 9} + 16 = \dfrac{{244}}{9}\) suy ra \(BC = \dfrac{{\sqrt {244} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3}\left( {cm} \right)\)
Tam giác vuông \(ABD,\) theo định lý Pytago ta có: \(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} \)\(= {6^2} + {4^2} = 52\), từ đó \(DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)
