Gọi \(a, b, c\) lần lượt là chu vi của các tam giác \(ABC\), \(ABH\), \(ACH\).
Ta có: \(b = 30cm,c = 40cm.\)
Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(CHA\), ta có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)
\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\))
Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)
Suy ra: \(\dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)\( = \dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{{HB + HA + BA} }{{HA + HC + AC}} = \dfrac{b}{c}\)
Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{{30}}{{40}} = \dfrac{3}{4}\)
Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{3} = \dfrac{{AC}}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}}\)\( = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{25}}\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Suy ra:
\(\dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{25}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BA} }{3} = \dfrac{{AC}}{ 4} = \dfrac{{BC}}{5}\)
Ta có các tam giác \(ABH, CAH, CBA\) đồng dạng với nhau nên:
\(b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\)
Suy ra: \(\dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{ 4} = \dfrac{a}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{3} = \dfrac{{40}}{4} = \dfrac{a}{5}\)\( \Rightarrow a = \dfrac{{30}}{3}.5 = 50\left( {cm} \right)\)
