Giả sử tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = {90^0},\)\(AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\) và \(BH < CH\)
Ta có: \(BH + CH = 5\) nên \(BH=5-CH\) (1)
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:
\(BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(BH(5 - BH) = 4\)\(\Leftrightarrow B{H^2} - 5BH + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow B{H^2} - 4BH -BH+ 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow BH (BH-4 )-(BH-4) = 0\)
\(\Leftrightarrow (BH-1)(BH-4)=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}BH = 1 \Rightarrow CH = 4\\BH = 4 \Rightarrow CH = 1\end{array} \right.\)
Do \(BH < CH\) nên \(BH = 1\) và \(CH = 4\)
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \)\(= 1.5 = 5\)
Suy ra: \(AB = \sqrt 5 .\)
Vì \(BH<CH\) nên \(AB<AC\) hay \(AB=\sqrt 5\) là cạnh nhỏ nhất của tam giác \(ABC.\)
