Trong \(∆ ABC\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ EF // AC\) và \(EF = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong \(∆ DAC\) ta có:
\(H\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
\(G\) là trung điểm của \(DC\) (gt)
nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ DAC.\)
\(⇒ HG // AC\) và \(HG = \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)
Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Ta lại có: \(BD ⊥ AC\) (gt)
\(EF // AC\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(EF ⊥ BD\)
Trong \(∆ ABD\) ta có \(EH\) là đường trung bình \(⇒ EH // BD\)
Suy ra: \(EF ⊥ EH\) hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)
Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật.
