Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(∆ ABC\)
\(⇒ GB = 2GM\) (tính chất đường trung tuyến)
\(GC = 2GN\) (tính chất đường trung tuyến)
Điểm \(D\) đối xứng với điểm \(G\) qua điểm \(M\)
\(⇒ MG = MD\) hay \(GD = 2 GM\)
Suy ra: \(GD = GB\) (1)
Điểm \(E\) đối xứng với điểm \(G\) qua điểm \(N\)
\(⇒ NG = NE\) hay \(GE = 2 GN\)
Suy ra: \(GC = GE\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(BCDE\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét \(∆ BCM\) và \(∆ CBN:\)
\(BC\) cạnh chung
\(\widehat {BCM} = \widehat {CBN}\) (tính chất tam giác cân)
\(CM = BN\) ( vì \(AB = AC\))
Do đó: \(∆ BCM = ∆ CBN\, (c.g.c)\)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat C_1}\) \(⇒ ∆ GBC\) cân tại \(G\) \(⇒ GB = GC ⇒ BD = CE\)
Hình bình hành \(BCDE\) có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
