Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 27. Giải các phương trình sau :

a.  \(2\cos x - \sqrt 3 = 0\)

b.  \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0\)

c.  \(\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\cos 2x - \sqrt 2 } \right) = 0\)

Bài 28. Giải các phương trình sau :

a.  \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\)

b.  \({\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\)

c.  \(\sqrt 3 {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 1 = 0\)

Bài 29. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm) :

a.  \(3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0\) trên \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\)

b.  \(4\cos 2x + 3 = 0\) trên \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)

c.  \({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\)

d.  \(5 - 3\tan 3x = 0\) trên \(\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right)\)

Bài 30. Giải các phương trình sau :

a. \(3\cos x + 4\sin x = -5\)

b. \(2\sin2x – 2\cos2x =  \sqrt 2 \)

c. \(5\sin2x – 6\cos^2 x = 13\)

Bài 31. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động   

Khoảng cách

lên xuống qua vị trí cân bằng (h. 1.27).

\(h\) từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \(t\) giây

được tính theo công thức \(h = |d|\) trong đó

\(d = 5\sin6t – 4\cos6t\),

với \(d\) được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng \(d > 0\)

khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, \(d < 0\) khi vật ở phía

dưới vị trí cân bằng. Hỏi :

a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến \({1 \over {100}}\) giây).

Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

a. \(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\)) ;

b.  \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)

c.\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).

Bài 33. Giải các phương trình sau :

a.  \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4\)

b.  \(3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0\)

c.  \({\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\)

Bài 34. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau :

a. \(\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\) ;

b. \(\cos 5x\sin 4x=\cos 3x\sin 2x\) ;

c. \(\sin 2x + \sin 4x = \sin 6x\) ;

d. \(sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x\)

Bài 35. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau :

a.  \({\sin ^2}4x + {\sin ^2}3x = {\sin ^2}2x + {\sin ^2}x\)

b.  \({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2\)

Bài 36. Giải các phương trình sau :

a.  \(\tan {x \over 2} = \tan x\)

b.  \(\tan \left( {2x + 10^\circ } \right) + \cot x = 0\)

c.  \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)

d.  \(\tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x\)

e.  \(\tan x + \cot 2x = 2\cot 4x\)

Bài 37. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức \(h = |d|\) với \(d = 3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\) , trong đó ta quy ước rằng \(d > 0\) khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và \(d < 0\) trong trường hợp trái lại.

a. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

b. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến

\({1 \over {100}}\) giây).

Bài 38. Giải các phương trình sau :

a.  \({\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0\)

b.  \({\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\)

c.  \(\sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5\)

Bài 39. Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm :

a. \(\sin x – 2\cos x = 3\)

b. \(5\sin2x + \sin x + \cos x + 6 = 0\)

Hướng dẫn b. Đặt \(\sin x + \cos x = t\)

Bài 40. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến \({1 \over {10}}\) giây)

a.  \(2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2,0^\circ \le x \le 360^\circ \)

b.  \(\tan x + 2\cot x = 3,180^\circ \le x \le 360^\circ \)

Bài 41. Giải các phương trình sau :

a.  \(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)

b.  \(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)

c.  \(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)

Bài 42. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)

b.  \(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)

c.  \({1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}}\)

d.  \(\sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}}\)