Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 14. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin 4x = \sin {\pi \over 5}\)

b.  \(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}\)

c.  \(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)

d.  \(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.\)

Bài 15

a. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng \((-π ; 4π)\) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

1.  \(\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\)

2. \(\sin x = 1\)

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số \(y = \cos x\) đối với mỗi phương trình sau

1.  \(\cos x = {1 \over 2}\)

2. \(\cos x = -1\).

Bài 16. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

a.  \(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)

b.  \(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)

Bài 17. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\,voi\,t \in \,va\,0 < t \le 365.\)

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Bài 18. Giải các phương trình sau :

a.  \(\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5}\)

b. \(\tan(x – 15^0) = 5\)

c.  \(\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \)

d.  \(\cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right)\)

e.  \(\cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = - \sqrt 3 \)

f.  \(\cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}\)

Bài 19

a.Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \tan x\) rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng \((-π ; π)\) là nghiệm của mỗi phương trình sau

1. \(\tan x = -1\)

2. \(\tan x = 0\)

b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số \(y = \cot x\) và cho mỗi phương trình sau

1.  \(\cot x = {{\sqrt 3 } \over 3}\)

2. \(\cot x = 1\)

Bài 20. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho

a. \(\tan \left( {2x-{{15}^0}} \right) = 1\) với \( - {180^0} < {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}{90^0}\);

b.  \(\cot 3x = - {1 \over {\sqrt 3 }}\,\text{ với }\, - {\pi \over 2} < x < 0.\)

Bài 21. Khi giải phương trình \(\tan x = - \sqrt 3 \) ; bạn Phương nhận thấy \( - \sqrt 3 = \tan \left( { - {\pi \over 3}} \right)\) và viết

\(\tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - {\pi \over 3}} \right) \Leftrightarrow x = - {\pi \over 3} + k\pi .\)

Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy \( - \sqrt 3 = \tan {{2\pi } \over 3}\) nên giải như sau :

\(\tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow x = {{2\pi } \over 3} + k\pi .\)

Theo em, ai giải đúng, ai giải sai ?

Bài 22. Tính các góc của tam giác \(ABC\), biết \(AB = \sqrt 2  cm\), \(AC =\sqrt 3  cm\) và đường cao \(AH = 1cm\). (Gợi ý : Xét trường hợp \(B, C\) nằm khác phía đối với \(H\) và trường hợp \(B, C\) nằm cùng phía đối với \(H\)).

Bài 23. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

a.  \(y = {{1 - \cos x} \over {2\sin x + \sqrt 2 }}\)

b.  \(y = {{\sin \left( {x - 2} \right)} \over {\cos 2x - \cos x}}\)

c.  \(y = {{\tan x} \over {1 + \tan x}}\)

d.  \(y = {1 \over {\sqrt 3 \cot 2x + 1}}\)

Bài 24. Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất

như hình 1.23 : điểm \(M\) mô tả cho con tàu, đường thẳng \(∆\) mô tả cho đường xích đạo.

Khoảng cách \(h\) (kilomet) từ \(M\) đến \(∆\) được

tính theo công thức \(h = |d|\), trong đó

\(d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right],\)

Với \(t\) (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, \(d > 0\) nếu \(M\) ở phía trên \(∆\), \(d < 0\) nếu \(M\) ở phía dưới \(∆\).

a. Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với \(t = 0\)). Hãy tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(∆\), trong đó \(C\) là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

b. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có \(d = 2000\).

c. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có \(d = -1236\).

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Bài 25. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính \(2,5m\) ;trục của nó đặt cách mặt nước \(2m\) (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách \(h\) (mét) từ một chiếc gầu gắntại điểm \(A\) của guồng đến mặt nước được tính theo công thức \(h = |y|\), trong đó

\(y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right]\) 

Với \(x\) là thời gian quay guồng (\(x ≥ 0\)), tính bằng phút ; ta quy ước rằng \(y > 0\) khi gầu ở bên trên mặt nước và \(y < 0\) khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi :

a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

c. Chiếc gầu cách mặt nước \(2m\) lần đầu tiên khi nào ?

Bài 26. Dùng công thức biến đổi tổng thành tích , giải các phương trình sau :

a. \(\cos 3x = \sin 2x\)

b. \(\sin (x – 120˚) – \cos 2x = 0\)