Bài 4: Một số công thức lượng giác

Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

a) \(\cos(α +β)=\cosα+\cosβ\)

b) \(\sin(α -β)=\sinα -\sinβ\)

c) \(\sin(α +β)=\sinα .\cosβ+\cosα.\sinβ\);

d) \(\cos(α -β)=\cosα .\cosβ-\sinα.\sinβ\)

e) \({{\sin 4\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)      

f) \(\sin^2α =\sin2α\)

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  + {\pi  \over 4})\)

b) \(\sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  - {\pi  \over 4})\)

c) \(\tan ({\pi  \over 4} - \alpha ) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi )\)

d) \(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {\pi  \over 4} + k\pi )\)

a) Biết \(\sin \alpha  = {1 \over 3};\,\,\alpha  \in ({\pi  \over 2};\,\pi )\) , hãy tính giá trị lượng giác của góc 2α  và góc \({\alpha  \over 2}\)

b) Sử dụng \({15^0} = {{{{30}^0}} \over 2}\) , hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Chứng minh rằng:

a) \(\sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 )\)

b) \(\cos {\pi  \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} =  - {1 \over 8}\)

c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} = {1 \over 6}\) (Hướng dẫn: Nhân hai vế với cos 6⁰)

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a) \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

b) \(\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}\)

c) \(\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}\)

d) \(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

\(\left\{ \matrix{ \alpha + \beta = {\pi \over 3} \hfill \cr \cos \alpha \ne \cos \beta \hfill \cr} \right.\)

b)  \({{\cos \alpha  - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha  - sin\alpha }} = \tan 4\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

b)\(\eqalign{

& \sin \alpha \sin ({\pi \over 3} - \alpha )\sin ({\pi \over 3} + \alpha ) = {1 \over 4}\sin 3\alpha \cr 
& \cos \alpha \cos ({\pi \over 3} - \alpha )cos({\pi \over 3} + \alpha ) = {1 \over 4}\cos 3\alpha \cr} \)

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) \(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)

b) \(sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx\)

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

hứng minh rằng nếu \(∝ + β + γ = π\) thì

a) \(\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos {\alpha  \over 2}\cos {\beta  \over 2}\cos {\gamma  \over 2}\)

b) \(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  = 1 + 4\sin {\alpha  \over 2}\sin {\beta  \over 2}\sin {\gamma  \over 2}\)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ = 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) \(co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 – 2cos∝ cosβ cosγ\)

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \({\pi  \over 2} + k\pi \,(k \in Z)\) thì:     

\(\left\{ \matrix{ \tan \alpha + \tan \beta = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr \tan \alpha - \tan \beta = {{\sin (\alpha - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr} \right.\)

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

\({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)

\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v(m/s) theo phương hợp với trục hoành (nằm ngang) Ox một góc α , \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) là parabol có phương trình :

 \(y =  - {g \over {2{v^2}{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + (\tan \alpha )x\)                                                      

Trong đó g là gia tốc trọng trường (g ≈ 9,8m/s²) (giả sử lực cản của không khí là không đáng kể).

Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.

a) Tính tầm xa theo α (và v)

b) Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng \((0,\,{\pi  \over 2})\) , hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị).