Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x² - 2x + 1

b) -x² + 4x – 1

c) \({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\)

d) \((1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 \)

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) (m²+2)x² - 2(m+1)x + 1

b) (m+2)x² + 2(m+2)x + m + 3

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.

a) \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\)        

b) \(\left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

 \(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)

Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) hay af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

trong đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)