Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh rằng, nếu \(a > b\) và \(ab > 0\); \({1 \over a} < {1 \over b}\)

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

a) Chứng minh rằng, nếu \(x ≥ y ≥ 0\) thì \({x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\)

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\)

Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \le  - 2\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = (x + 3)(5 – x)\) với \(-3 ≤ x ≤ 5\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + {2 \over {x - 1}}\) với x > 1

Một khách hàng đến một cửa hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên trái và cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) \({1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} < 1\)

Hướng dẫn: Viết: \({1 \over {1.2}} = 1 - {1 \over 2};\,{1 \over {2.3}} = {1 \over 2} - {1 \over 3};\,....\,\,\,\)

b) \({1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}} < 2\)

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9