Bài 1: Đại cương về hàm số

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau

\(\eqalign{
& a)\,y = {{3x + 5} \over {{x^2} - x + 1}} \cr
& b)\,y = {{x - 2} \over {{x^2} - 3x + 2}} \cr
& c)\,y = {{\sqrt {x - 1} } \over {x - 2}} \cr
& d)\,y = {{{x^2} - 2} \over {(x + 2)\sqrt {x + 1} }} \cr} \)

Biểu đồ hình 2.8 cho biết số triệu tấn gạo xuất khẩu của Việt Nam trong các năm từ 2000 đến 2005. Biểu đồ này cho ta một hàm số. Hãy cho biết tập xác định và nêu một vài giá trị của hàm số đó.

Hình 2.9 là đồ thị của một hàm số có tập xác định là \(\mathbb R\).

Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y = x² + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)

b) y = -2x + 4x + 1  trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)

c) \(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)

Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ?

a) y = x⁴ – 3x² + 1

b) y = -2x³ + x

c) y = |x + 2| - |x – 2|

d) y = |2x + 1| + |2x – 1|

Cho đường thẳng (d): y = 0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):

a) Lên trên 3 đơn vị

b) Xuống dưới 1 đơn vị

c) Sang phải 2 đơn vị

d) Sang trái 6 đơn vị

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực dương với căn bậc hai của nó có phải là một hàm số không? Tại sao?

Giả sử (G) là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D và A là một điểm trên trục hoành có hoành độ bằng a. Từ A, ta dựng đường thẳng (d) song song (hoặc trùng) với trục tung.

a) Khi nào thì (d) có điểm chung với (G)? (Hướng dẫn: Xét hai trường hợp a thuộc D và a không thuộc D)

b) (d) có thể có bao nhiêu điểm chung với (G)? Vì sao?

c) Đường tròn có thể là đồ thị của hàm số nào không? Vì sao?

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {{3x + 1} \over {{x^2} - 9}}\)

b) \(y = {x \over {1 - {x^2}}} - \sqrt { - x} \)

c) \(y = {{x - 3\sqrt {2-x} } \over {\sqrt {x + 2} }}\)

d) \(y = {{\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} } \over {(x - 2)(x - 3)}}\)

Cho hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{
- 2(x - 2);\,\,\, - 1 \le x < 1 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 1} ;\,\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a) Cho biết tập xác định của hàm số f

b) Tính \(f(-1); f(0,5); f({{\sqrt 2 } \over 2} ); f(1); f(2)\)

Trong các điểm \(A(-2, 8); B(4, 12); C(2, 8); D(5, 25 +\sqrt 2 )\)

Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 3} \) ? Vì sao?

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) \(y = {1 \over {x - 2}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\)

b) y = x² – 6x + 5 trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3; +∞)\)

c) y = x²⁰⁰⁵ + 1 trênn khoảng \((-∞; +∞)\)

Hàm số \(y = {1 \over x}\) có đồ thị như hình 2.10

a) Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó

b) Bằng tính toán, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng  (-∞, 0) và (0, +∞) và kiểm tra lại kết quả so với bảng biến thiên đã lập

Tập con S của tập số thực \(\mathbb R\) gọi là đối xứng nếu mọi x thuộc S, ta đều có – x thuộc S. Em có nhận xét gì về tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ).

Từ nhận xét đó, em có kết luận gì về tính chẵn – lẻ của hàm số \(y = \sqrt x \) ? Tại sao?

Gọi (d) là đường thẳng \(y = 2x\) và (d’) là đường thẳng \(y = 2x – 3\). Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh tiến (d):

a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?

b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?

Cho đồ thị (H) của hàm số: \(y =  - {2 \over x}\)

a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ?

b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?

c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ?