Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai.

a) Khi α đổi dấu (tức thay α bởi -α ) thì cosα và sinα đổi dấu còn tanα không đổi dấu

b) Với mọi α thì sinα =2sinα

b) Với mọi α, \(|\sin (\alpha  - {\pi  \over 2}) - \cos (\alpha  + \pi )| +\)

                                  \(|cos(\alpha  - {\pi  \over 2}) + \sin (\alpha  - \pi )| = 0\)

d) Nếu cosα ≠ 0 thì \({{\cos ( - 5\alpha )} \over {\cos \alpha }} = {{ - 5\alpha } \over \alpha } =  - 5\)

e) \({\cos ^2}{\pi  \over 8} + {\cos ^2}{{3\pi } \over 8} = 1\)

g) \(\sin {\pi  \over {10}} = \cos {{2\pi } \over 5}\)

Tính:

a) sin²10⁰ + sin²20⁰ + sin² 30⁰ + .... + sin² 80⁰  (8 số hạng)

b) cos10⁰ + cos 20⁰ + cos 30⁰ + ....+ cos 180⁰ ( 18 số hạng)

c) cos 315⁰ + sin 330⁰ + sin250⁰ – cos 160⁰

Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ \(( - {4 \over 5};\,{3 \over 5})\) nằm trên đường tròn lượng giác đó. Giả sử điểm M xác định bới số α . Tìm tọa độ các điểm xác định bởi các số: π - α ; π + α ; \({\pi  \over 2}\) - α và \({\pi  \over 2}\) + α.

Hỏi các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo như sau: 2594^o; -646^o; -2446^o và 74^o thì có cùng tia cuối không?

Xác định dấu của  các giá trị lượng giác sau:

\(\cos 250^0\);  \(\tan(-672^0)\); \(\tan {{31\pi } \over 8};\sin ( - {1050^0});\cos {{16\pi } \over 5}\)

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = {4 \over 5}\,\,;\,\,\,\cos \alpha  < 0\)

b) \(\cos \alpha  =  - {8 \over {17}};\,\,\,{\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

c) \(\tan \alpha  = \sqrt 3 \,\,;\,\,\,\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

Chứng minh rằng:

a) \({{1 - 2\sin \alpha \,\cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\) khi các biểu thức đó có nghĩa

b) \(ta{n^2}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}ta{n^2}\alpha {\rm{ }}si{n^2}\alpha \)

c) \(2(1{\rm{ }}-\sin\alpha {\rm{ }})\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}cos\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\cos\alpha {\rm{ }}} \right)^2}\)

Biết \(\sinα -\cosα =m\), hãy tính \(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

Với số \(α,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) , xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

a) Tính AM² bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin²α

b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα

c) Chứng minh: \(\sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\,\,\,\cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \({{3\pi } \over 8}\) và \({{5\pi } \over 8}\)

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với một đường tròn lượng giác, cho điểm P có tọa độ (2, -3)

a) Chứng minh rằng điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OP} } \over {|\overrightarrow {OP} |}}\) là giao điểm của tia OP với đường tròn lượng giác đó

b) Tính tọa độ điểm M và từ đó suy ra cosin, sin của góc lượng giác (Ox, OP)