Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

Chứng minh các bất đẳng thức:

a) \(|a + b| < |1 + ab|\) với \(|a| < 1; |b| < 1\)

b) \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}\)

với mọi n ∈ N*

c) \(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\) với mọi \(a ≥ 0; b ≥ 0\). Khi nào có đẳng thức?

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0          

b) a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)

b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.

\(\left\{ \matrix{ {7 \over 6}x - {1 \over 2} \ge {{3x} \over 2} - {{13} \over 3} \hfill \cr {m^2}x + 1 \ge {m^4} - x \hfill \cr} \right.\)

(m² + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?

Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) a²x + 1 > (3a - 2)x - 3

b) 2x² + (m - 9)x + m² + 3m + 4 ≥ 0

Giải các bất phương trình sau:

a) \({{x - 2} \over {{x^2} - 9x + 20}} > 0\)

b) \({{2{x^2} - 10x + 14} \over {{x^2} - 3x + 2}} \ge 1\)

Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

a) (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0

b) (m² - 1)x² + 2(m + 1)x + 3 > 0

Giải các phương trình sau

a) \(|x^2– 2x – 3| = 2x + 2\)

b) \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 2(x - \sqrt 3 )\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le x - 4\)

b) \((x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\)

c) \(\sqrt {{x^2} - 8x}  \ge 2(x + 1)\)

d) \(\sqrt {x(x + 3)}  \le 6 - {x^2} - 3x\)

Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

a) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 5x + 6 < 0 \hfill \cr 

ax + 4 < 0 \hfill \cr} \right.\)

b)\(\left\{ \matrix{

4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr 
{x^2} - 2ax + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Trong mỗi câu sau đây, có bốn khẳng định (A), (B), (C) và (D) , trong đó chỉ có một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng trong mỗi câu đó.

) Tam thức bậc hai : \(f(x) = {x^2} + (1 - \sqrt 3 )x - 8 - 5\sqrt 3 \)

A. Dương với mọi x ∈ R

B. Âm với mọi x ∈ R

C. Âm với mọi \(x \in ( - 2 - \sqrt 3 ,\,1 + 2\sqrt 3 )\)         

D. Âm với mọi \(x∈ (-∞; 1)\)

b) Tam thức bậc hai:\(f(x) = (1 - \sqrt 2 ){x^2} + (5 - 4\sqrt 2 )x - 3\sqrt 2  + 6\)      

A. Dương với mọi x ∈ R

B. Dương với mọi \(x \in ( - 3;\sqrt 2 )\)

C. Dương với mọi \(x \in ( - 4,\sqrt 2 )\)             

D. Âm với mọi x ∈ R

c) Tập xác định của hàm số: \(f(x) = \sqrt {(2 - \sqrt 5 ){x^2} + (15 - 7\sqrt 5 )x + 25 - 10\sqrt 5 } \)  là:

(A): R;

(B): \((-∞; 1)\)

(C): \([-5; 1]\);

(D): \([-5; \sqrt 5]\).

\(\eqalign{
& (A)\,\,x = {3 \over 4} \cr 
& (B)\,\,\,x = 3 - \sqrt 6 \cr 
& (C)\,\,\,x = 3 + \sqrt 6 \cr 
& (D)\,\,\left\{ \matrix{
{x_1} = 3 + \sqrt 6 \hfill \cr 
{x_2} = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {(x + 4)(6 - x)}  \le 2(x + 1)\) là:

\(\eqalign{
& (A)\,\,\,{\rm{[}} - 2,\,5{\rm{]}} \cr 
& (B)\,\,\,{\rm{[}}{{\sqrt {109} - 3} \over 5};\,6{\rm{]}} \cr 
& (C)\,\,\,{\rm{[}}1,\,6{\rm{]}} \cr 
& (D)\,\,{\rm{[}}0,\,7{\rm{]}} \cr} \)

c) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2(x - 2)(x - 5)}  > x - 3\) là:

\(\eqalign{
& (A)\,\,\,\,{\rm{[}} - 100,\,2{\rm{]}} \cr 
& (B)\,\,\,\,{\rm{[}} - \infty ,\,  1{\rm{]}} \cr 
& (C)\,\,\,\,( - \infty ,\,2)\, \cup \,{\rm{[}}6, + \infty ) \cr 
& (D)\,\,\,( - \infty ,2{\rm{]}}\, \cup \,\,(4 + \sqrt 5 , + \infty ) \cr} \)